Устойчивое распределение Парето - это на самом деле целый класс распределений, которые иногда называют распределениями Парето-Леви. Функция плотности вероятности N"(U) задается следующим образом:
где U - переменная устойчивого распределения;
А - параметр эксцесса распределения;
В - параметр асимметрии распределения;
D - параметр расположения распределения;
V - параметр ширины; i - мнимая единица, -1 л (1/2);
ABS() - функция абсолютного значения; tan() - функция тангенса;
1п() - функция натурального логарифма.
Границами параметров уравнения (В.31) являются:
Четыре параметра распределения А, В, D и V позволяют распределению принимать множество различных форм.
Переменная А определяет высоту хвостов распределения, т. е. можно сказать, что А выражает переменную эксцесса распределения. Переменная А также называется характеристическим показателем распределения. Когда А = 2, распределение является нормальным, когда А = 1, распределение является распределением Коши. При значениях А 1.
Переменная В является коэффициентом асимметрии. Когда В = 0, распределение симметрично. Чем больше асимметрия, тем больше абсолютное значение В. Отметьте, что, когда А = 2, W(U, А) = 0, ив этом случае В не влияет на распределение. Когда А = 2, не важно, чему равно В, распределение все равно симметричное и нормальное. Параметр ширины V иногда выражается как функция переменной А: V = С л А, поэтому С = V л (1/А). Когда А = 2, V равно половине дисперсии. Когда А = 1 (для распределения Коши), V равно семиинтерквартиль- ной широте. D - это параметр расположения. Когда А = 2, среднее арифметическое является несмещенной оценкой D; когда А = 1, то средним арифметическим является медиана.
Функций распределения устойчивого распределения Парето не существует. По этой причине оценка параметров данного распределения затруднена, и работа с распределением проблематична. Интересно отметить, что параметры А, В, С и D устойчивого распределения Парето соответствуют четвертому, третьему, второму и первому моментам распределения соответственно, что позволяет с помощью устойчивого распределения Парето моделировать разные типы реальных распределений, особенно в тех случаях, когда хвосты распределения толще, чем при нормальном распределении или при бесконечной дисперсии (когда А
Бесконечная дисперсия делает центральную предельную теорему неприменимой к данным, которые распределяются в соответствии с устойчивым распределением Парето, когда А
Одна из основных характеристик устойчивого распределения Парето состоит в том, что оно инвариантно относительно сложения, т.е. сумма независимых переменных (распределенных согласно устойчивому распределению Парето) с характеристическим показателем А будет распределена подобным образом, причем с достаточно близким по величине характеристическим показателем. Таким образом, мы имеем обобщенную центральную предельную теорему, которая совпадает с центральной предельной теоремой, за тем исключением, что предельной формой распределения является устойчивое распределение Парето, а не нормальное распределение, и теорема верна, даже если данные имеют бесконечную дисперсию (т. е. А
Именно эта обобщенная центральная предельная теорема позволяет использовать устойчивое распределение Парето для моделирования изменений цены .
Многие исследователи пытались классифицировать различные распределения вероятности. Без сомнения, многого добился в этой области Карл Пирсон, но, пожалуй, самая исчерпывающая работа по классификации наиболее известных распределений вероятности была представлена Фрэнком Гейтом . «Указатель» Гейта освещает почти все известные распределения, информация о которых была опубликована до января 1958 г. Гейт перечисляет большинство математических функций, связанных с распределениями. Что еще более важно, в его работе даны ссылки на книги и статьи, чтобы читатель мог найти публикации для получения более подробной информации относительно интересующего его распределения. В указателе Гейта распределения классифицируются (всего он приводит десять видов):
- 1. Нормальное.
- 2. Тип III.
- 3. Биномиальное.
- 4. Дискретное.
- 5. Распределения (А, В).
- 6. Распределения (0, +оо).
- 7. Распределения (-оо, +оо).
- 8. Прочие одномерные распределения.
- 9. Прочие двумерные распределения.
- 10. Прочие многомерные распределения.
Из всех распределений, которые мы рассмотрели в данном приложении, хи- квадрат и экспоненциальное распределение отнесены Гейтом к типу III. Биномиальное, геометрическое и распределение Бернулли отнесены к биномиальным. Распределение Пуассона и гипергеометрическое распределение отнесены к дискретным распределениям. Равномерное распределение относится к распределениям (А, В). F-распределение, а также распределение Парето относятся к распределениям (0, +оо), распределение Стьюдента считается распределением (-оо, Too), а полиномиальное распределение относится к многомерным распределениям. Следует также отметить, что не все распределения можно отнести к одной из этих десяти категорий, так как некоторые распределения можно считать подклассами других. Например, распределение Стьюдента относится к распределениям (-оо, Too), при этом нормальное распределение может считаться подклассом распределения Стьюдента, но нормальному распределению выделена собственная категория. Как видите, не существует каких-либо четких критериев для деления распределений на классы, однако указатель Гейта составлен достаточно наглядно. Читателям, интересующимся различными типами распределений и собирающимся проводить собственные исследования, следует познакомиться с работой Гейта.
- Не путайте устойчивое распределение Парето с регулируемым распределением, рассмотренным в главе 4. Устойчивое распределение Парето является реальным распределением,так как оно моделирует вероятность некоторого явления. Регулируемое распределениемоделирует другие (двухмерные) распределения вероятности, подобные распределениюПарето.
- Haight, F.A., «Index to the Distributions of Mathematical Statistics», Journal of Research of theNational Bureau of Standards - D. Mathematics and Mathematical Physics 65D, No. 1, pp. 23-60,January-March 1961.
Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей - двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений , являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето . Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических, физических и других . Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.
Определение
Пусть случайная величина X {\displaystyle X} такова, что её распределение задаётся равенством:
F X (x) = P (X < x) = 1 − (x m x) k , ∀ x ≥ x m {\displaystyle F_{X}(x)=P(Xгде x m , k > 0 {\displaystyle x_{m},k>0} . Тогда говорят, что X {\displaystyle X} имеет распределение Парето с параметрами x m {\displaystyle x_{m}} и k {\displaystyle k} . , . Его правило 20 к 80 (которое гласит: 20% популяции владеет 80% богатства) однако зависит от конкретной величины k , и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в Cours d"économie politique говорят, что там примерно 30% населения владеет 70% общего дохода.
Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры.
Непрерывное распределение вероятностей с плотностью
зависящей от параметров x 0 >0 и a>0. В такой "усеченной" трактовке П. р. выделяется как самостоятельное распределение из семейства бета-распределений
2-го рода с плотностью
при . Для любого фиксированного х 0
П. р. сводится преобразованием к бета-распределению
1-го рода. В системе Пирсона кривых
П. р. принадлежит к распределениям "типа VI" и "типа XI". Математическое ожидание П. р. конечно при и равно ; дисперсия конечна при и равна ; медиана равна . Функция распределения П. р. определена формулой
П. р. получило широкое распространение в различных задачах экономич. статистики начиная с работ В. Парето (W. Pareto, 1897) о распределении доходов. Считалось, что П. р. достаточно хорошо описывает распределение доходов, превышающих нек-рый уровень, в том смысле, что это распределение должно иметь хвост порядка при .
Лит.
: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975. А. В. Прохоров.
- - см. Частота распределения...
Медицинские термины
- - Вильфредо - итальянский мыслитель, социолог и экономист, внесший оригинальный вклад в экономическую теорию и социологическую науку. Профессор в Лозанне...
Новейший философский словарь
- - англ. Zipf-Pareto law; нем. Zipf-Paretosches Gesetz. Закон, согласно к-рому существует тенденция к дальнейшему увеличению удельного веса элементов, уже обладающих более высокой частотой распространения...
Энциклопедия социологии
- - Парето Вильфредо - итальянский социолог и экономист, изложивший свою теоретическую социологическую концепцию в "Трактате всеобщей социологии"...
Энциклопедия социологии
- - условие повышения уровня благосотояния одного или нескольких участников рыночной сделки в результате ее совершения при условии недопущения снижения уровня благосостояния других участников этой сделки...
Терминологический словарь библиотекаря по социально-экономической тематике
- - Итальянский социолог и экономист. Его основной труд по социологии "Ум и общество" пользовался в свое время большим влиянием, однако сейчас сохраняют значение только его доводы, доказывающие,...
Политология. Словарь.
- - Вильфредо - ит. социолог и экономист. Все поступки делятся П. на логические и нелогические...
Философская энциклопедия
- - закон итальянского экономиста В.Парето, из которого следует, что доходы распределяются в зависимости от величины соотношения дохода и количества получающих его лиц и описывается уравнением N = A...
Словарь бизнес терминов
- - Условие эффективности, выведенное экономистом и политологом Вильфредо Парето...
Словарь бизнес терминов
- - общеэкономический принцип распределения в рыночном хозяйстве созданных благ, согласно которому все общество выигрывает, если каждый отдельный член общества, принося пользу себе, не снижает пользы для всего...
Словарь бизнес терминов
- - зависимость, выражающая соотношение между величиной дохода и количеством получающих его лиц. Закон распределения доходов сформулирован итальянским экономистом В.Парето: если численность людей с доходом, равным...
Большой экономический словарь
- - формулировка максимума благосостояния, выведенная В.Парето в "Учебнике политической экономии" ...
Большой экономический словарь
- - итальянский экономист В.Парето определил критерий достижения эффективности распределения: ресурсы можно считать наиболее эффективно, а значит, оптимально распределенными при заданном уровне возможностей, когда...
Большой экономический словарь
- - Вильфредо, итальянский экономист и социолог. Представитель математической школы в буржуазной политической экономии...
- - Парето Вильфредо, итальянский экономист и социолог. Представитель математической школы в буржуазной политической экономии...
Большая Советская энциклопедия
- - Вильфредо, итальянский экономист и социолог, представитель математической школы в политэкономии...
Современная энциклопедия
"ПАРЕТО РАСПРЕДЕЛЕНИЕ" в книгах
09. Вильфредо Парето
Из книги Финансисты, которые изменили мир автора Коллектив авторов09. Вильфредо Парето (1848–1923) Инженер, мыслитель, экономист и социолог, один из основоположников теории элит и структурного функционализма МАТЕМАТИК В СТАНЕ ПОЛИТЭКОНОМИИ Жизнь Вильфредо Парето служит доказательством всем известной истины, что на ошибках стоит учиться.
2. Взгляд на экономическую теорию благосостояния В.Парето. «Оптимум по Парето»
Из книги История экономической мысли [Курс лекций] автора Агапова Ирина Ивановна2. Взгляд на экономическую теорию благосостояния В.Парето. «Оптимум по Парето» До сих пор в центре нашего внимания были вопросы поведения экономических субъектов (потребителей и фирм), исследование условий оптимизации их поведения, которое сводится к максимизации
Закон Парето
Из книги Технология достижений [Турбокоучинг по Брайану Трейси] автора Трейси БрайанЗакон Парето Итальянский экономист и социолог Вильфредо Парето, известный применением математических принципов в сфере экономического анализа, разработал, помимо всего прочего, важнейшую концепцию, касающуюся распределения временных затрат. В своем первом крупном
3. Принцип 80/20 (Парето)
Из книги Ключевые стратегические инструменты автора Эванс Воган3. Принцип 80/20 (Парето) ИнструментВам нравятся гончарные изделия, устанавливаемые в садах? Или вы настолько «жадный» садовник-любитель, что хотите весь участок засадить только цветами? Если вы относитесь ко второй категории, вам следует знать, что 80 % семян вы получите
Экстремальный Парето
Из книги Хочу… совершить прорыв! Удивительно простой закон феноменального успеха автора Папазан ДжейЭкстремальный Парето Парето подтверждает все, о чем я вам рассказываю, но есть одна проблема. Он не заходит достаточно далеко, а я хочу, чтобы вы пошли дальше. Я хочу, чтобы вы привели Принцип Парето к экстремуму. Я хочу, чтобы вы сначала определили 20 %
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ
Из книги На пути к сверхобществу автора Зиновьев Александр АлександровичРАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ ОБЩЕСТВА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ БЛАГ В современных больших обществах многие миллионы людей занимают какие-то социальные позиции. Сложилась грандиозная система подготовки людей для занятия этих позиций - для замены отработанного
5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана
Из книги Медицинская физика автора Подколзина Вера Александровна5. Распределение Максвелла (распределение газовых молекул по скоростям) и Больцмана Распределение Максвелла – в равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температура) остаются неизменными, однако микросостояния – взаимное расположение молекул, их
Парето Вильфредо
Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПА) автора БСЭПринцип Парето
Из книги Как управлять своим временем автора Вронский А. И.Принцип Парето Известный итальянский экономист и социолог Вильфредо Парето (1848–1923) в 1897 г. сформулировал принцип, названный впоследствии его именем. Также этот принцип называют правилом 80/20, или принципом наименьших усилий. Парето установил, что люди в социуме делятся
Принцип Парето
Из книги Как стать первым на YouTube. Секреты взрывной раскрутки автора Парабеллум Андрей АлексеевичПринцип Парето На сегодняшний день ситуация с продвижением на YouTube заметно изменилась. Раньше размещение видеоролика на этом сайте давало определенные преимущества. А сейчас YouTube стал достаточно популярным даже в России: многие снимают видео на камеру мобильного
Принцип Парето
Из книги Практическая психология для менеджера автора Альтшуллер А А9. Правило Парето
Из книги 100 бизнес-технологий: как поднять компанию на новый уровень автора Черепанов Роман9. Правило Парето Построение бизнеса в целом, как и его отдельного направления, требует внимания к разным деталям. Как разобраться, с чего начать?Бизнес-деятельность требует учитывать различные факторы, которых порой бывает множество. Чтобы гарантировать
ПРАВИЛО ПАРЕТО
Из книги Как управлять временем (Тайм-менеджмент) автора Потапов СергейПРАВИЛО ПАРЕТО В общем случае это правило гласит, что 80% результатов системы обеспечиваются 20% процентами затрат. Этот закон был выведен итальянским экономистом Вильфредо Парето в XIX веке. Изучая распределение богатств, он обратил внимание на то, что большая часть средств
Принцип Парето
Из книги Бизнес-леди в большом городе автора Тунцова ДианаПринцип Парето Известный итальянский экономист и социолог Вильфредо Парето (1848–1923) в 1897 г. сформулировал принцип, названный впоследствии его именем. Также этот принцип называют правилом 80/20 или принципом наименьших усилий. Парето установил, что люди в социуме делятся на
Закон Парето: 80/20
Из книги Ваш персональный коучинг успеха. Руководство к действию автора Козлова Анна М.Закон Парето: 80/20 Согласно закону Парето, из 20 % причин проистекают 80 % последствий, а 20 % затрат усилий и времени дают 80 % результата. Попробуйте организовать свою жизнь согласно данному закону, а для этого определите: какие 20 % источников создают 80 % ваших проблем и
|notation = }} Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей - двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений , являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето . Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических, физических и других . Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.
Определение
Пусть случайная величина такова, что её распределение задаётся равенством:
где . Тогда говорят, что имеет распределение Парето с параметрами и . Плотность распределения Парето имеет вид:
\begin{matrix} \frac{kx_m^k}{x^{k+1}}, & x \ge x_m \\ 0, & x < x_m \end{matrix} \right..
Моменты
Моменты случайной величины , имеющей распределение Парето, задаются формулой:
,
откуда в частности:
, .
Приложения
Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода . Его правило 20 к 80 (которое гласит: 20% популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины k , и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в Cours d"économie politique говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.
Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:
См. также
Напишите отзыв о статье "Распределение Парето"
Примечания
п Вероятностные распределения | ||
---|---|---|
Одномерные | Многомерные | |
Дискретные: | Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное | Мультиномиальное |
Абсолютно непрерывные: | Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси - Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma | Многомерное нормальное | Копула |
Отрывок, характеризующий Распределение Парето
Он привстал, желая обойти, но тетушка подала табакерку прямо через Элен, позади ее. Элен нагнулась вперед, чтобы дать место, и, улыбаясь, оглянулась. Она была, как и всегда на вечерах, в весьма открытом по тогдашней моде спереди и сзади платье. Ее бюст, казавшийся всегда мраморным Пьеру, находился в таком близком расстоянии от его глаз, что он своими близорукими глазами невольно различал живую прелесть ее плеч и шеи, и так близко от его губ, что ему стоило немного нагнуться, чтобы прикоснуться до нее. Он слышал тепло ее тела, запах духов и скрып ее корсета при движении. Он видел не ее мраморную красоту, составлявшую одно целое с ее платьем, он видел и чувствовал всю прелесть ее тела, которое было закрыто только одеждой. И, раз увидав это, он не мог видеть иначе, как мы не можем возвратиться к раз объясненному обману.«Так вы до сих пор не замечали, как я прекрасна? – как будто сказала Элен. – Вы не замечали, что я женщина? Да, я женщина, которая может принадлежать всякому и вам тоже», сказал ее взгляд. И в ту же минуту Пьер почувствовал, что Элен не только могла, но должна была быть его женою, что это не может быть иначе.
Он знал это в эту минуту так же верно, как бы он знал это, стоя под венцом с нею. Как это будет? и когда? он не знал; не знал даже, хорошо ли это будет (ему даже чувствовалось, что это нехорошо почему то), но он знал, что это будет.
Пьер опустил глаза, опять поднял их и снова хотел увидеть ее такою дальнею, чужою для себя красавицею, какою он видал ее каждый день прежде; но он не мог уже этого сделать. Не мог, как не может человек, прежде смотревший в тумане на былинку бурьяна и видевший в ней дерево, увидав былинку, снова увидеть в ней дерево. Она была страшно близка ему. Она имела уже власть над ним. И между ним и ею не было уже никаких преград, кроме преград его собственной воли.
– Bon, je vous laisse dans votre petit coin. Je vois, que vous y etes tres bien, [Хорошо, я вас оставлю в вашем уголке. Я вижу, вам там хорошо,] – сказал голос Анны Павловны.
И Пьер, со страхом вспоминая, не сделал ли он чего нибудь предосудительного, краснея, оглянулся вокруг себя. Ему казалось, что все знают, так же как и он, про то, что с ним случилось.
Через несколько времени, когда он подошел к большому кружку, Анна Павловна сказала ему:
– On dit que vous embellissez votre maison de Petersbourg. [Говорят, вы отделываете свой петербургский дом.]
(Это была правда: архитектор сказал, что это нужно ему, и Пьер, сам не зная, зачем, отделывал свой огромный дом в Петербурге.)
– C"est bien, mais ne demenagez pas de chez le prince Ваsile. Il est bon d"avoir un ami comme le prince, – сказала она, улыбаясь князю Василию. – J"en sais quelque chose. N"est ce pas? [Это хорошо, но не переезжайте от князя Василия. Хорошо иметь такого друга. Я кое что об этом знаю. Не правда ли?] А вы еще так молоды. Вам нужны советы. Вы не сердитесь на меня, что я пользуюсь правами старух. – Она замолчала, как молчат всегда женщины, чего то ожидая после того, как скажут про свои года. – Если вы женитесь, то другое дело. – И она соединила их в один взгляд. Пьер не смотрел на Элен, и она на него. Но она была всё так же страшно близка ему. Он промычал что то и покраснел.
Вернувшись домой, Пьер долго не мог заснуть, думая о том, что с ним случилось. Что же случилось с ним? Ничего. Он только понял, что женщина, которую он знал ребенком, про которую он рассеянно говорил: «да, хороша», когда ему говорили, что Элен красавица, он понял, что эта женщина может принадлежать ему.
«Но она глупа, я сам говорил, что она глупа, – думал он. – Что то гадкое есть в том чувстве, которое она возбудила во мне, что то запрещенное. Мне говорили, что ее брат Анатоль был влюблен в нее, и она влюблена в него, что была целая история, и что от этого услали Анатоля. Брат ее – Ипполит… Отец ее – князь Василий… Это нехорошо», думал он; и в то же время как он рассуждал так (еще рассуждения эти оставались неоконченными), он заставал себя улыбающимся и сознавал, что другой ряд рассуждений всплывал из за первых, что он в одно и то же время думал о ее ничтожестве и мечтал о том, как она будет его женой, как она может полюбить его, как она может быть совсем другою, и как всё то, что он об ней думал и слышал, может быть неправдою. И он опять видел ее не какою то дочерью князя Василья, а видел всё ее тело, только прикрытое серым платьем. «Но нет, отчего же прежде не приходила мне в голову эта мысль?» И опять он говорил себе, что это невозможно; что что то гадкое, противоестественное, как ему казалось, нечестное было бы в этом браке. Он вспоминал ее прежние слова, взгляды, и слова и взгляды тех, кто их видал вместе. Он вспомнил слова и взгляды Анны Павловны, когда она говорила ему о доме, вспомнил тысячи таких намеков со стороны князя Василья и других, и на него нашел ужас, не связал ли он уж себя чем нибудь в исполнении такого дела, которое, очевидно, нехорошо и которое он не должен делать. Но в то же время, как он сам себе выражал это решение, с другой стороны души всплывал ее образ со всею своею женственной красотою.
В ноябре месяце 1805 года князь Василий должен был ехать на ревизию в четыре губернии. Он устроил для себя это назначение с тем, чтобы побывать заодно в своих расстроенных имениях, и захватив с собой (в месте расположения его полка) сына Анатоля, с ним вместе заехать к князю Николаю Андреевичу Болконскому с тем, чтоб женить сына на дочери этого богатого старика. Но прежде отъезда и этих новых дел, князю Василью нужно было решить дела с Пьером, который, правда, последнее время проводил целые дни дома, т. е. у князя Василья, у которого он жил, был смешон, взволнован и глуп (как должен быть влюбленный) в присутствии Элен, но всё еще не делал предложения.
«Tout ca est bel et bon, mais il faut que ca finisse», [Всё это хорошо, но надо это кончить,] – сказал себе раз утром князь Василий со вздохом грусти, сознавая, что Пьер, стольким обязанный ему (ну, да Христос с ним!), не совсем хорошо поступает в этом деле. «Молодость… легкомыслие… ну, да Бог с ним, – подумал князь Василий, с удовольствием чувствуя свою доброту: – mais il faut, que ca finisse. После завтра Лёлины именины, я позову кое кого, и ежели он не поймет, что он должен сделать, то уже это будет мое дело. Да, мое дело. Я – отец!»